Énoncé
Soit le circuit ci-dessus, alimenté par un générateur de fem
sans résistance interne.
Calculer le courant
passant dans la résistance
en fonction des composants du circuit.
Le plus rapide : regrouper
et
en une résistance unique
et exploiter le diviseur de tension
,
pour exprimer la différence de potentiel aux bornes de
. En déduire
.
Rappel de cours :
Généralités : loi des nœuds, loi des mailles.
Les composants électriques dipolaires : lois d'association des résistors, source de tension (ou générateur idéal).
Exercice de référence sur les diviseurs de tension et de courant.
Lorsque deux résistances
et
sont branchées en série et que l'ensemble est relié à une source de tension
, la différence de potentiel aux bornes de
est
(voir l'exercice de référence sur les diviseurs de tension).
En posant
et
la résistance équivalente à
et
(reliées en parallèle), on obtient facilement la différence de potentiel
aux bornes de
. On écrit alors
.
Celle-ci se fait en trois étapes :
a) Regroupons
et
en une résistance unique
: on obtient
.
b) Notons
la différence de potentiel aux bornes de
: celle-ci se calcule facilement avec la relation du diviseur de tension constitué par
et
:
c) On écrit enfin
, ce qui donne tous calculs faits
Appelons
le pôle positif du générateur,
son pôle négatif et
le point commun aux résistances
,
et
.
Lorsqu'un circuit alimenté en régime continu ne contient qu'un seul générateur, il est pratiquement toujours possible de prévoir le sens de passage des courants dans chacune des branches, car elles ne contiennent que des résistances (la seule exception est un circuit contenant des résistances placées en triangle). Ainsi dans le circuit proposé passe de
vers
dans
, de
vers
dans
et
. L'expression algébrique de
orienté comme sur le schéma doit conduire à un résultat positif.
Il y a trois (au moins) manières de calculer
: la première, immédiate, consiste à utiliser la relation du diviseur de tension ; la seconde, moins intuitive, est d'appliquer la relation du diviseur de courant ; la troisième, longue et fastidieuse, est de mettre le circuit en équation en utilisant les lois de Kirchhoff, ou les théorème de Thévenin ou de Norton (cf chapitre III). Nous ne donnerons ici que les deux premières.
1 – Utilisation du diviseur de tension :
Il apparaît facilement si on regroupe les résistances
et
. Elles sont en parallèles, donc
, soit
.
Le circuit peut alors être redessiné en remplaçant
et
par
, et on applique la relation du diviseur de tension pour obtenir la différence de potentiel
aux bornes de
:
.
Or
est aussi la différence de potentiel existant aux bornes de
(et aussi de
), ce qui permet d'écrire le courant
passant dans
:
(si on avait demandé le courant
passant dans
, on aurait écrit
).
On obtient ainsi, en remplaçant
puis
par leurs expressions :
2 – Utilisation du diviseur de courant :
Soit
la conductance équivalente à
et
branchées en parallèle :
.
On écrit alors l'expression du courant
sortant du générateur (donc traversant
) :
.
Il ne reste plus qu'à appliquer la relation du diviseur de courant (voir l'exercice de référence) :
.
On retrouve sans difficulté l'expression de
:
